Entgegen der deterministischen Auffassung sollte sich nun im Laufe dieses Jahrhunderts herausstellen, daß viele Systeme des Makro- und Mikrokosmos, obwohl sie physikalischen Gesetzen gehorchen, sehr sensibel auf kleine Änderungen der Anfangsbedingungen oder Störungen reagieren. Ihr Verhalten ist deshalb auf längere Zeit nicht voraussagbar. Dieses sensible Verhalten und die dadurch bedingte Verletzung der starken Kausalität sind Hauptvoraussetzungen für die Entstehung von Chaos. Deterministisches Chaos läßt sich somit als chaotisches, unberechenbares Verhalten trotz der Anwendbarkeit deterministischer Gesetze definieren. Beispiele, die die sensible Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen verdeutlichen und damit die deterministische Philosophie verdeutlichen sollten, riefen selbst bei den Kursteilnehmern ungläubige Gesichter und Skepsis hervor: So kann beispielsweise theoretisch ein Schmetterling durch seinen Flügelschlag einen Orkan auslösen. Die Bewegung von Billardkugeln ist bereits nach der 9ten Karambolage der Kugeln völlig unberechenbar, wenn sich ein Zuschauer im Raum bewegt, der auf die Kugeln äußerst geringe Gravitationskräfte ausübt. Das erstaunlichste Beispiel ist aber folgendes: Die Bewegung von Sauerstoffmolekülen, die in einer Sekunde milliardenfach zusammenprallen, ist bereits nach der 56ten Karambolage, also einem Bruchteil von Millisekunden, nicht mehr berechenbar, wenn man die geringste aller auf die Moleküle wirkenden Kräfte berücksichtigt, nämlich die Gravitationskraft eines Elektrons, das sich irgendwo am Rande des Universums befindet. Dieses Beispiel rief soviel Aufsehen hervor, daß das "böse Elektron" schon bald zu einem Schlagwort unseres Kurses wurde. Selbst wenn beim Tischtennisspielen einmal der Ball versprang, war das "böse Elektron am Rande des Universums" daran schuld.

Das Beispiel mit dem Schmetterlingsflügel hat sich zwar zu einem Symbol der Chaosphysik entwickelt; wegen der Abstraktheit und teilweise starken Übertreibung der obigen Beispiele sollen im folgenden aber einfachere und nachvollziehbarere Systeme betrachtet werden, anhand derer man chaotisches Verhalten ebenfalls gut erklären kann, wie zum Beispiel das Magnetpendel.

Abb. 15: Das Magnetpendel     Abb. 16: Fraktal des Magnetpendels

Lenkt man eine an einem Faden hängende Eisenkugel aus und läßt sie im Feld dreier Magnete hin- und herschwingen, so wirken auf das Pendel im wesentlichen drei Kräfte: magnetische Kräfte, Erdanziehungskraft und Reibungskraft. Letztere bewirkt, daß das Pendel als offenes System mit der Zeit so viel Energie nach außen abgibt, daß es letztlich über einem der drei Magnete zum Stillstand kommt. Versucht man nun, die Kugel mehrere Male so exakt wie möglich an derselben Stelle loszulassen, so kann sie trotzdem immer über einem anderen Magneten stehenbleiben, wobei für ein gut justiertes Pendel die Wahrscheinlichkeit für jeden Magneten, Endpunkt der Pendelbewegung zu werden, bei genau einem Drittel liegt. Die damit verbundene Unvorhersagbarkeit der Bewegung liegt an der schon erwähnten Sensitivität auf kleine Änderungen der Anfangsbedingungen . Abbildung 2 zeigt eine Computersimulation der Bewegung des Magnetpendels. Man kann für jede Auslenkung des Pendels anhand der zugrundeliegenden deterministischen Gesetze berechnen, über welchem Magneten die Kugel zum Stillstand kommen wird. Wird jedem Magneten eine bestimmte Farbe zugeordnet und entsprechend dem Magneten, über dem die Kugel zum Stillstand kommt, der Anfangspunkt der Bewegung in der Farbe dieses Magneten gefärbt, erhält man Abbildung 2. Auffallend daran ist, daß im Randbereich des Bildes die einzelnen Farben sehr dicht beisammen liegen. Schon eine minimale Änderung des Startpunktes bewirkt, daß die Kugel über einem anderen Magneten stehenbleibt.

Kennzeichnend für viele chaotische Systeme ist das Auftreten von Instabilitätsstellen oder Instabilitätslinien. Beim Magnetpendel stellen solche Instabilitätslinien jeweils die Symmetrielinien zwischen zwei Magneten dar. Da sich auf dieser Linie die magnetischen Kräfte beider Magnete gegenseitig aufheben, müßte eine Kugel, die auf der Symmetrielinie losgelassen wird, theoretisch genau auf dieser in Richtung des dritten Magneten hin- und herschwingen, bis sie schließlich über diesem zum Stillstand kommt. In der Praxis wird man diese Bewegung jedoch nie erreichen, da man beim Loslassen des Pendels die Symmetrielinie nie exakt treffen wird und die Kraft eines der beiden sich gegenseitig aufhebenden Magneten doch leicht überwiegen wird. Somit wird das Pendel mit der Zeit seine Ideallinie verlassen und seine Schwingung wieder chaotisch werden. Da über den Symmetrielinien die Sensitivität des Pendels besonders groß ist, werden sie als Instabilitätslinien bezeichnet. Wegen dieser Instabilitätslinien ist das Prinzip der starken Kausalität verletzt. Das Magnetpendel ist deterministisch, aber nicht vorhersagbar.

Die am Magnetpendel erklärte Verletzung der starken Kausalität machen sich beispielsweise viele Glücksspiele wie Würfel, die Ziehung der Lottozahlen oder das Roulettespiel zunutze. Beim Würfel haben die Ecken und Kanten die Funktion von Instabilitätspunkten, die die Unvorhersagbarkeit des Systems bewirken. Abbildung 16 weist aber noch eine weitere Auffälligkeit auf. Das Bild ist von einer gewissen Symmetrie und Selbstähnlilchkeit geprägt. Selbstähnliche Strukturen, auch Fraktale genannt, zeichnen sich dadurch aus, daß jeder noch so kleine Bildausschnitt dieselben Strukturen wie das gesamte Bild aufweist, ihm also ähnelt. Berühmte Beispiele für solche Fraktale sind beispielweise das Sierpinski-Dreieck oder die Mandelbrotmenge. Fraktale und auch die Strukturbildung (Bénard- Zellen, Taylor- Rollen) zeigen, daß dem chaotischen Verhalten doch eine Ordnung überlagert sein kann.

Was letztendlich aber den Ausschlag für die chaotische Bewegung des Magnetpendels gibt, ist die Nichtlinearität der ihm zugrundeliegende Bewegungsgleichung. Diese Nichtlinearität ist die wichtigste Voraussetzung für die Entstehung von Chaos. Der Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Bewegungsgleichungen soll zum besseren Verständnis kurz am Beispiel des Schwerependels dargestellt werden. Beim Schwerependel gilt für die rücktreibende Kraft, die die Pendelmasse in Richtung der Gleichgewichtslage beschleunigt: F µ sin(^x/_l) wobei x die momentane Auslenkung und l die Länge des Pendels beschreibt. Für kleine Auslenkwinkel a (Þ x << l) kann man jedoch davon ausgehen, daß sin(^x/_l) » ^x/_l. Weil l konstant ist, kann man für kleine Winkel nun folgende Vereinfachung einführen: F µ x.

Somit sind für kleine Auslenkungen die beiden das System beschreibenden Größen (momentane Auslenkung und beschleunigende Kraft) direkt proportional , während sie für größere Winkel über dem Sinus des Winkels proportional sind. Im ersten Fall ist die Bewegungsgleichung linear und die Schwingung harmonisch, im zweiten Fall ist die Bewegung nichtlinear, die Schwingung anharmonisch. Für Winkel, die größer als 90° sind, nimmt mit größer werdendem Winkel die Rückstellkraft ab , bis sie schließlich bei einer Auslenkung von 180° verschwindet. Theoretisch müßte das Pendel bei dieser Anfangsauslenkung stillstehen. Doch in der Realität wird es durch eine kleinste Änderung der Anfangsbedingungen seine Schwingung entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn beginnen. Der Auslenkwinkel von 180° stellt somit einen Instabilitätspunkt dar.

Was hat aber das Pendel mit der turbulenten Strömung gemeinsam? Auch die strömende Flüssigkeit gehorcht einer nichtlinearen Bewegungsgleichung, die man erhält, wenn man die Bilanz aller Kräfte, die auf eine strömende Flüssigkeit wirken (Reibungskraft, Druckkraft, Trägheitskraft und äußere Kräfte wie die Erdanziehungskraft) erstellt. Diese Bewegungsgleichung ist die Grundgleichung der Aero- und Hydrodynamik, die Navier- Stokes- Gleichung. Ihr gehorchen sowohl die laminare, als auch die turbulente Strömung.