Inhalt          Der Satz des Bernoulli          Karmansche Wirbelstraße

Die Geschwindigkeitsverteilung in einem Abflußrohr

(Alexander Wagner)

Sehr interessant ist die Geschwindigkeitsverteilung in den verschiedenenFlüssigkeitsschichten einer Flüssigkeit in einem Abflußrohr.Zur vereinfachten Betrachtung, um auf das einfache Gesetz des Hagen-Poiseuillezu kommen, gehe ich von nur einer Sorte Flüssigkeit aus (die Flüssigkeitist wirklich flüssig und nicht mit irgendwelchen Bröckchen durchsetzt).Das Abflußrohr wird von der Flüssigkeit ohne Wirbel (laminar)durchströmt. Dafür braucht es einen gewissen Druckunterschied,um überhaupt fließen zu können, da die Flüssigkeitnaturgemäß zäh ist. Diese Zähigkeit wird mit mit demunheimlichen Naturfaktor h bezeichnet. Von Schicht zu Schicht wirkt eine Kraft, die die Geschwindigkeitsunterschiedezwischen den Schichten ausgleichen will. Diese Kraft ist proportional zurFläche, dem Geschwindigkeitsunterschied, dem unheimlichen Naturfaktorund antiproportional dem Abstand der Schichten zueinander.
Also: 

Hieraus erhält man die Kraft, die von einer Schicht auf die nächste wirkt. Da der Geschwindigkeitsunterschied und der Abstand der Schichten zueinander verschwindend gering ist, kann der Differenzenquotient  als Ableitung  geschrieben werden und man gelangt für die Kraft zu folgendem Ausdruck:

Nun wirkt auf die Flüssigkeit im Rohr einmal die Druckkraft aus Fläche mal Druck, wobei die Fläche eine Kreisfläche ist, also F = pr2(p1-p2) , die die Flüssigkeit beschleunigt.


Abb. 6:
Zur Herleitung der Hagen-Poiseulleschen Gleichung
Zum zweiten wirkt die Reibungskraft, wie oben schon beschrieben, als bremsende Kraft. Wobei hier nun die Fläche A die Rohrmantelfläche ist, die sich aus dem Umfang mal der betrachteten Rohrlänge l berechnet:

An der Rohrwand heben sich nun beide Kräfte gerade auf, die Flüssigkeit haftet hier an der Rohrwand, so daß die Addition beider Kräfte 0 ergibt. Somit ist hier die Schubkraft gleich der Reibungskraft, die in entgegengesetzte Richtung wirkt. Als Kräftebilanz erhält man:

Hier läßt sich nun pr herauskürzen und die Gleichung umgestellt von dem betrachteten Radius r bis zum Rohrradius R integrieren. Auf der rechten Seite wird das Geschwindigkeitsprofil von der unbekannte Geschwindigkeit, die abhängig vom betrachteten Rohrradius ist, bis zur Geschwindigkeit 0 integriert, die ja an der Rohrwand herrscht.

Mit einfacher Integration, wer mag, kann das ja mal per Hand nachrechnen, bekommt man:

Um das Geschwindigkeitsprofil zu erhalten muß man nun nur noch das Ganze nach v(r) umstellen:

Dieses Geschwindigkeitsprofil ist ein Paraboloid.

Aber mehr als nur das Geschwindigkeitsprofil des Abwassers im Abflußrohr, interessiert nun auch noch der Volumenstrom, also die Stromstärke in diesem Rohr.
Dafür muß man sich nun jeden einzelnen Hohlzylinder anschauen, da diese ja alle eine verschiedene Geschwindigkeit haben, und berechnet für jeden einzelnen das pro Zeit geflossene Volumen. Dabei ist die betrachtete
Fläche A = prdr. Die Stromstärke wird durch i bezeichnet und durch das Volumen pro Zeit bestimmt. Durch Integration der Fläche mal dem Geschwindigkeitsprofil erhält man nun den Volumenstrom. Also, als Formel ausgedrückt (die ja jeder gerne liest):


Abb. 7: Verteilung der Geschwindigkeit bei laminarer Strömung in einem Rohr
Hagen - Poiseuille - Gesetz
So, jetzt haben wir die Geschwindigkeitsverteilung des Abwasser und seinenVolumenstrom. Toll! Und überraschenderweise sieht man, daß derVolumenstrom von R4 abhängigist. Und das ist faszinierend, wenn man sich überlegt, daß,wenn man den Rohrradius nur um ein weniges verändert, der Volumenstromsich schon um ein mehrfaches verändert. Bsp.: Ein viertel Rohrradiusergibt nur ein 256-fachstel Volumenstrom.

Jetzt hatte ich aber vereinfachend nur ein idealisiertes Abwasser benutzt.Aber auch auf realistische Abwässer trifft die Formel weitgehendstund mit nur geringen Veränderungen zu. So ist ein sehr bekanntes Abwassersystemin gewisser Hinsicht der menschliche Blutkreislauf. Immerhin transportiertder ja auch alle möglichen Dreck, den der Körper braucht, oderauch manchmal nicht braucht. Auf jeden Fall schwimmen im Blut genauso wieim Abwasserkanal, auch Bröckchen herum, die Erythrozyten. Diese ballensich nun aber in den Adern in der Mitte zusammen und verhalten sich nichtmehr wie eine Newtonsche Flüssigkeit. Am Rand aber, also an der Aderwand,befindet sich nur eine Plasmaschicht, die sich wie die obige Flüssigkeitverhält. Also kann man an den Randregionen das Hagen - Poiseuille- Gesetz und in der Mitte eine etwas kompliziertere Formel verwenden, diesich vom Modell für plastische Massen von E. C. Bingham herleitet.Diese Formel ist von der Struktur aber auch der anderen ähnlich. Alldie, die eine solche Formel gerne anschauen, können diese im "TechnischeStrömungslehre" von Prandtl auf Seite 510/511 nachschlagen.


Hendrik Hoeth
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Autor: 
Alexander Wagner
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